Эренфест, Пауль: биография
В следующие два года развитием адиабатической гипотезы Эренфеста занимались его ученики Ян Бюргерс, Юрий Крутков и Хендрик Крамерс. Наиболее существенным был вклад Бюргерса, доказавшего инвариантность фазовых интегралов вида ∮ p d q {\displaystyle \oint pdq} и переменных действия при адиабатических преобразованиях вырожденных и невырожденных периодических систем с произвольным количеством степеней свободы. В 1918 году Нильс Бор перенёс идеи Эренфеста на почву своей атомной модели, использовал их для нахождения новых стационарных состояний и их вероятностей (статистических весов) и сформулировал в этом контексте так называемый «принцип механической трансформируемости», с начала 1920-х годов известный под названием адиабатического принципа. После этого адиабатическая гипотеза Эренфеста получила широкую известность в научном мире, наряду с принципом соответствия она стала основным конструктивным методом в «старой квантовой теории», предшествовавшей созданию квантовой механики. Помимо всего прочего, адиабатический принцип позволил объединить два основных подхода к построению квантовой теории — статистико-механический (Планк, Эйнштейн, Эренфест) и атомно-спектральный (Бор, Зоммерфельд). Сам Эренфест переориентировал свои исследования в направлении, указанном Бором. После создания квантовой механики стало возможным сформулировать те же идеи на новом языке: в 1928 году Макс Борн и Владимир Фок дали доказательство адиабатической теоремы, говорящей о сохранении стационарного состояния системы во время адиабатического процесса.
Квантовая статистика
Здесь рассматриваются работы, в которых статистико-механические соображения применяются к квантовым проблемам, не связанным непосредственно с адиабатическими инвариантами или тепловым излучением.
В работе «К теореме Больцмана о связи энтропии с вероятностью» (нем. Zum Boltzmannschen Entropie-Wahrscheinlichkeits-Theorem, 1914) Эренфест подверг анализу вопрос о применимости в квантовой области принципа Больцмана, связывающего энтропию S {\displaystyle S} с вероятностью состояния W {\displaystyle W} (количеством способов реализации этого состояния). Другими словами, применимость соотношения S = k log W {\displaystyle S=k\log W} не была гарантирована, учитывая те ограничения, которые накладывала гипотеза квантов на величину W {\displaystyle W} . Доказательство Больцмана основывалось на предположении о равновероятности равных объёмов фазового пространства, однако Планк при выводе своего закона излучения уже не мог пользоваться этим свойством и был вынужден просто принять больцмановское соотношение за постулат. Эренфест получил общее условие, при котором принцип Больцмана остаётся справедливым, и показал, что все известные распределения (включая планковское) удовлетворяют этому условию. Два года спустя он связал это условие с адиабатической гипотезой и доказал, что соотношение Больцмана выполняется для ансамбля одномерных систем (осцилляторов), если их движения определяются в соответствии с квантованием адиабатического инварианта 2 < T > / ν {\displaystyle 2<T>/\nu } . В 1918 году Адольф Смекаль (англ. Adolf Smekal) распространил этот вывод на системы с произвольным числом степеней свободы.
В 1920-е годы Эренфест принимал активное участие в становлении и прояснении смысла квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Так, в 1921 году в статье, написанной вместе с Виктором Тркалем (англ. Viktor Trkal), он перенёс больцмановский метод получения законов химического равновесия на квантовые системы. Важным аспектом этой работы было вычисление энтропии: авторы подвергли критике подход Планка, в котором неразличимость частиц использовалась для оправдания зависимости энтропии от их числа (множитель N ! {\displaystyle N!} ) и обеспечения её аддитивности (эту проблему иногда называют парадоксом Гиббса). Кроме того, они высказали сомнение в том, что абсолютное значение энтропии (а не только её изменение) имеет физический смысл. В 1924 году вместе с Ричардом Толменом Эренфест проанализировал случаи, когда применение обычных правил квантования приводит к неверным значениям статистического веса. Как выяснилось впоследствии, причина состояла в необходимости учёта тождественности частиц.
