В 1937 году Фред Перри перешёл в профессиональный теннис, и Остин оказался на позиции ведущего игрока Великобритании. В этом и следующем году ему удалось дважды дойти до финала турниров Большого шлема — сначала на чемпионате Франции, а затем на Уимблдоне, где он стал последним британским финалистом в мужском одиночном разряде на больше чем 70 лет (следующим британцем на этом уровне стал лишь в 2012 году Энди Маррей). Однако завоевать титул на турнире Большого шлема ему так и не удалось. На Уимблдонском турнире 1939 года стареющий Остин в отсутствие Дона Баджа, также перешедшего в профессионалы, был посеян под первым номером, но проиграл уже в четвертьфинале. Нормальному завершению его карьеры затем помешала начавшаяся война.
В 1997 году Генри Уилфрид Остин стал членом Международного зала теннисной славы. За время игровой карьеры он 11 раз подряд (с 1928 по 1938 год) включался в десятку сильнейших теннисистов мира, составляемую теннисными обозревателями газеты Telegraph, дважды — в 1931 и 1938 годах — занимая в этой иерархии второе место, соответственно после Анри Коше и Дона Баджа. Помимо своих спортивных результатов он известен также как первый теннисист, игравший в шортах в международном турнире. Это произошло в 1932 году. Сам Банни рассказывал:
| Я чувствовал, что пропитанные потом фланелевые крикетные брюки сковывают мои движения, поэтому мой портной смастерил для меня шорты на пробу. | |
Интересно, что сестра Банни, Джоан Винифред, в 1931 году стала первой теннисисткой, игравшей на Центральном корте Уимблдона без чулок.
Участие в финалах турниров Большого шлема за карьеру (0+6)
Одиночный разряд (0+3)
| Год | Турнир | Соперник в финале | Счёт в финале |
| 1932 | Уимблдонский турнир | Эллсуорт Вайнз | 4-6, 2-6, 0-6 |
| 1937 | Чемпионат Франции | Хеннер Хенкель | 1-6, 4-6, 3-6 |
| 1938 | Уимблдонский турнир (2) | Дон Бадж | 1-6, 0-6, 3-6 |
Смешанный парный разряд (0+3)
| Год | Турнир | Партнёрша | Соперники в финале | Счёт в финале |
| 1929 | Чемпионат США | Филлис Ковелл | Бетти Натхолл-Шумейкер Джордж Лотт | 3-6, 3-6 |
| 1931 | Чемпионат Франции | Дороти Шеферд-Баррон | Бетти Натхолл-Шумейкер Пэт Спенс | 3-6, 7-5, 3-6 |
| 1934 | Уимблдонский турнир | Дороти Шеферд-Баррон | Дороти Раунд Рюки Мики | 6-3, 4-6, 0-6 |
Статистика участия в финалах турниров Большого шлема в одиночном разряде
Статистика приводится по базе данных Tennis Archives
| Турнир | 1926 | 1927 | 1928 | 1929 | 1930 | 1931 | 1932 | 1933 | 1934 | 1935 | 1936 | 1937 | 1938 | 1939 | Итого | В/П за карьеру |
| Чемпионат Франции | НУ | НУ | НУ | 3К | НУ | 3К | НУ | НУ | 1/4 | 1/2 | 1/4 | Ф | НУ | НУ | 0/6 | 17—6 |
| Уимблдонский турнир | 4К | НУ | 4К | 1/2 | 4К | 1/4 | Ф | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/2 | 1/2 | Ф | 1/4 | 0/13 | 56—13 |
| Чемпионат США | НУ | НУ | 3К | 1/4 | НУ | НУ | 4К | НУ | НУ | НУ | НУ | НУ | НУ | НУ | 0/3 | 9—3 |
Участие в финалах Кубка Дэвиса (4+2)
| Результат | Год | Место проведения | Команда | Соперники в финале | Счёт |
| Поражение | 1931 | Париж, Франция | Великобритания Ч. Кингсли, Б. Остин, Ф. Перри, П. Хьюз | Франция Ж. Боротра, Ж. Брюньон, А. Коше | 2:3 |
| Победа | 1933 | Париж | Великобритания Г. Ли, Б. Остин, Ф. Перри, П. Хьюз | Франция Ж. Боротра, Ж. Брюньон, А. Коше, А. Мерлен | 3:2 |
| Победа | 1934 | Лондон, Великобритания | Великобритания Г. Ли, Б. Остин, Ф. Перри, П. Хьюз | США С. Вуд, Дж. Лотт, Л. Стёфен, Ф. Шилдс | 4:1 |
| Победа | 1935 | Лондон | Великобритания Б. Остин, Ф. Перри, Р. Таки, П. Хьюз | США Д. Бадж, Дж. ван Рин, У. Эллисон | 5:0 |
| Победа | 1936 | Лондон | Великобритания Б. Остин, Ф. Перри, Р. Таки, П. Хьюз | Австралия А. Квист, Дж. Кроуфорд | 3:2 |
| Поражение | 1937 | Лондон | Великобритания Б. Остин, Р. Таки, Ф. Уайлд, Ч. Хейр | США Д. Бадж, Дж. Мако, Ф. Паркер | 1:4 |
